La géométrie élabore des modèles mathématiques capables de décrire des parcelles d’espace spécifiques. L’espace géométrique peut donc être considéré comme une contribution théorique, suggestive et claire, à l’étude de certaines facettes formelles de l’espace architectural.
La géométrie de l’architecture
Pour concevoir un bâtiment, il est nécessaire de posséder un instrument graphique de projection : la géométrie. Une géométrie de la conception architecturale, dans laquelle le mot « conception » a le double sens d’invention-projection et d’opération graphique pour la construction de l’invention elle-même.
La géométrie est donc l’instrument avec lequel nous délimitons, découpons, spécifions et formons l’espace. Selon Giancarlo De Carlo, L’idea plastica come sfida alla tecnologia, 1975 :
La forme tridimensionnelle de l’architecture n’est pas l’extérieur d’un solide, mais l’enveloppe concave et convexe d’un espace ; et l’espace à son tour n’est pas le vide, mais le lieu volumétrique dans lequel se déroule toute une série d’activités possibles et variées. Par conséquent, dans le cas de l’architecture, l' »invention » fait référence à un « système organisé spécial » que nous expérimentons par son utilisation et que nous percevons par sa forme.
La reconnaissabilité des formes étant une condition essentielle à la réception du message architectural, plus les formes sont simples et régulières, plus elles seront perceptibles et reconnaissables. De plus, les caractéristiques formelles spécifiques et intrinsèques des figures géométriques sont si fortes qu’elles génèrent des références symboliques immédiates et instinctives chez l’homme, quel que soit son degré d’évolution. La géométrie est la science des propriétés et des relations des grandeurs dans l’espace (Oxford Dictionary).
La géométrie est pour l’architecte une base et un moyen de discipline, un outil indispensable dans le traitement des formes qui entrent dans la « composition » des espaces. La géométrie est une construction du cerveau humain, bien que l’observation de la nature nous amène à la considérer comme un ensemble de lois extérieures à l’homme. En observant les processus de croissance des minéraux, des plantes et des animaux, la rationalité humaine a été capable de « reconnaître » certaines formes simples, en trouvant des relations particulières entre elles et à l’intérieur d’elles, c’est-à-dire en construisant les systèmes de logique mathématique que l’on appelle géométries.
Mais la géométrie et l’architecture sont des créations humaines différentes. La géométrie, qui est la mathématique, traite de l’espace abstrait, tandis que l’architecture, qui est la technique et l’art, traite de l’espace concret, de l’espace en relation avec l’homme, avec sa présence en tant qu’observateur, avec sa dimension en tant que bénéficiaire de celui-ci.
Géométrie et sécurité du bâtiment
Les calculs géométriques sont utilisés pour assurer la sécurité dans la conception d’une structure. Dans un grand bâtiment à ossature en acier, par exemple, des calculs sont effectués pour déterminer la charge de poids sur la base du bâtiment, et la grille formée par des rectangles plus petits est utilisée pour répartir le poids de manière uniforme afin de garantir l’intégrité structurelle du bâtiment. Même dans les structures de bâtiments résidentiels, les calculs géométriques sont utilisés pour déterminer les éléments porteurs tels que les solives de plancher et les préoccupations pratiques telles que la pente du toit.
Géométrie et esthétique
En plus des considérations structurelles dans la conception architecturale, la géométrie est également utilisée pour améliorer l’aspect esthétique d’un bâtiment. Que ce soit par une série de toits reliés entre eux pour créer une façade dynamique ou par l’utilisation d’espaces ovales pour créer des espaces internes intéressants (comme c’était le cas dans l’architecture baroque), les architectes ont toujours essayé d’utiliser des principes géométriques pour rendre les bâtiments plus attrayants. Parfois, ces dessins sont étroitement liés à des besoins structurels, comme dans l’utilisation des arcs-boutants dans l’architecture gothique.
Les proportions dans l’architecture
Bruno Taut Teoria dell’ architettura, Istanbul, 1937, exclut l’utilisation du terme « espace » pour l’architecture :
« Dans l’art, seule la forme concrète nous intéresse… alors que nous nous intéressons à la pièce dans la mesure où son « enveloppe » possède les bonnes propriétés ».
La théorie de la proportion a pour objectifs fondamentaux son intentionnalité visuelle, consistant à créer un ordre apparent par la répétition de figures similaires, et son intentionnalité formelle, fondée, non pas sur les formes elles-mêmes, mais sur le rythme entre ces formes. Les proportions classiques sont harmonieuses, alors que la civilisation actuelle, si tant est qu’il s’agisse d’une civilisation, se caractérise précisément par des dysharmonies.
En architecture, les dissonances, c’est-à-dire les disproportions, peuvent refléter l’atmosphère dynamique, tragique et « décomposée » du monde actuel. Récemment, mais pas trop, l’attention des architectes, et en particulier de Le Corbusier, a été attirée par les recherches menées par les mathématiciens sur les proportions dynamiques et en particulier sur les propriétés du nombre d’or, c’est-à-dire le rapport établi entre la longueur d’un segment et la longueur des deux parties en lesquelles il est divisé lorsque la partie la plus grande est à moitié proportionnelle à la partie la plus petite et au segment entier.
Selon Vitruve De Architectura, livre I, « la proportion est la commensurabilité de chacun des membres de l’ouvrage et de tous les membres de l’ouvrage dans son ensemble au moyen d’une unité de mesure ou d’un module donné ».
La théorie des proportions et des moyennes proportionnelles, dont les trois types sont attribués à Pythagore, a pris une importance particulière à la Renaissance. Il s’agit :
- de la proportion arithmétique,
- de la proportion géométrique,
- de la proportion harmonique.
Trois entiers a,b,c sont dans :
- rapport arithmétique si b-a=c-b.
- rapport géométrique si (a/b)=(b/c).
- rapport harmonique si (b-a)/a=(c-b)/c.
- moyenne arithmétique : b=((a+c)/2)
- moyenne géométrique : b=√(ac)
- moyenne harmonique : b=2((ac)/(a+c))
Définition et propriétés de la proportion
Les proportions entre les différentes parties d’une œuvre architecturale peuvent être exprimées par des rapports d’entiers. Palladio attachait une grande importance à ces rapports statiques. Son innovation fondamentale consistait à relier systématiquement une pièce à une autre au moyen de proportions harmoniques. On dit que p(a,b) est incommensurable si c’est un nombre irrationnel positif. Géométriquement, cela indique que le rectangle de proportion p(a,b) n’est pas une répétition d’un carré, ou que ses côtés ne peuvent pas être mesurés simultanément par répétition de la même unité.
Le nombre d’or et l’architecture
p(a,b)=√n.
Les rectangles de cette proportion forment une série auto-générée.
Ces rectangles sont les seuls qui peuvent être obtenus comme réunion de n fois le rectangle réciproque, c’est-à-dire qu’en divisant ces rectangles en n parties par le plus grand côté, on obtient n rectangles de proportion identique à celui donné.
p(a,b)=((1+√5)/2)=φ.
Cette proportion a conservé un intérêt croissant et une actualité constante au fil des siècles. Elle est symbolisée par la lettre grecque φ, l’initiale de Phidias, le sculpteur grec qui l’a utilisée. Une première définition se trouve dans les Éléments d’Euclide, livre VI : « Un segment est divisé en rapport moyen et extrême lorsque le segment entier est à sa plus grande partie comme celui-ci est à sa plus petite ».
Le rectangle du nombre d’or est construit à partir d’un carré, en rabattant sur un côté, à partir du milieu du carré, le segment qui relie ce milieu à tout sommet du carré qui n’est pas aligné avec ce point.
Si l’on effectue cette construction deux fois, on obtient deux rectangles d’or superposés, qui ont en commun le carré initial.
Le numéro adjoint correspond à la division adjointe d’un segment. Si le segment AB doit être divisé par un point C tel que ((AB)/(AC))=((AC)/(CB)), dans ce segment le total est au plus grand comme le plus grand est au plus petit. -Le nombre d’or est le seul qui satisfasse : φ²=1+φ.
Au début du XIXe siècle, les tracés géométriques simples sont remplacés par des tracés plus rigoureux basés sur le nombre d’or. À la symétrie bilatérale et rotative, jugée trop statique, les artistes préféraient l’eurythmie (eu=bien, ritmia=rythme) générée par la composition équilibrée mais non symétrique des éléments. Les théories proportionnelles ont réservé une attention particulière dans le domaine de l’architecture aux techniques de régulation des tracés développées dans la seconde moitié du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Il y avait un désir de contrôler la composition avec des lois mathématiques. Tous les artistes des mouvements d’avant-garde se sont intéressés à l’instrument géométrique et mathématique, afin d’étudier la structure interne de l’œuvre.
Au milieu du XXe siècle, l’apparition du Modulor (Paris, 1948) de Le Corbusier (module = unité de mesure et section d’or) marque un point culminant dans la théorie des proportions. La proposition de conception de Le Corbusier est l’établissement d’un module architectural qui tient compte à la fois de la dimension humaine et du besoin international de production de masse. Il propose pour l’architecture un système modulaire capable de créer une harmonie architecturale. A partir de rectangles d’or, par superposition et division, il construit le maillage fondamental : une fois fixée l’unité d, la taille de l’homme, il considère deux séries, la série rouge et la série bleue :
Série rouge : d,φd,φ²d,φ³d,…..
Série bleue : 2d,2φd,2φ²d,2φ³d,…
Ce système proportionnel est à l’origine des rectangles d’or et des doubles carrés. L’un de ses mérites est de faire le lien entre les séries proportionnelles et le monde de l’industrialisation de la construction. A partir de la Convention sur « La divine proportion », Milan, 1951, l’intérêt pour la théorie de la proportion a progressivement diminué pour laisser place aux problèmes de coordination modulaire, pour éviter d’être simplement la répétition d’un produit.
Architecture et symétrie
Les premières conceptions de la symétrie architecturale associaient symétrie et proportion, équilibre et beauté. Vitruve la définissait comme « la liaison harmonieuse de chacun des membres de l’édifice par rapport à la figure générale de l’ouvrage ».
Ce concept a eu une influence notable sur la Renaissance : Dürer, Michel-Ange, Piero de la Francesca, Paccioli, Léonard de Vinci,… ont tous contribué à l’étude de la symétrie sans la séparer de la proportion de l’œuvre.
La référence de Palladio dans I quattro libri dell’architettura :
Je comprends que les bâtiments doivent ressembler à un corps entier et bien défini dans lequel un membre convient à l’autre et tous les membres sont nécessaires à celui qui doit être fait,
résume parfaitement ce lien architectural entre symétrie et proportion dans son aspect global. Cette recherche constante du canon et de l’ordre se reflétait non seulement dans la conception des plans et des façades mais aussi dans tous les éléments intégraux de l’édifice : frises, colonnades, mosaïques, etc. Palladio poursuit : « et il faut faire en sorte que les pièces de droite correspondent et soient les mêmes que celles de gauche, de sorte que la construction soit la même d’un côté que de l’autre ».
Dans le Dictionnaire d’architecture de Viollet le Duc, nous trouvons une nouvelle conceptualisation : « la symétrie signifie aujourd’hui, dans le langage des architectes, non pas un équilibre ou un rapport harmonieux des parties avec le tout, mais une similitude des parties opposées, la reproduction exacte, à gauche d’un axe, de ce qui est à droite ».
Fondamentalement, cette définition dissocie la théorie de la proportion de la théorie de la symétrie, réduisant cette dernière à son aspect euclidien purement géométrique. En ce sens, la THÉORIE DE LA SYMÉTRIE est une partie de la géométrie qui, opérant sur l’espace euclidien, inclut toutes les isométries comme transformations, son intérêt spécifique étant l’étude des groupes d’isométries qui laissent les figures invariantes.
Définition des concepts
Architecture et espace
La réalisation d’un projet architectural introduit une altération, une altération spatiale, dans l’environnement. Les volumes, les surfaces, les lignes et leurs articulations plastiques et chromatiques s’unissent pour créer, à l’intérieur et à l’extérieur du bâtiment, des espaces dont la qualité dépendra aussi du rapport dimensionnel avec l’homme.
L’espace est toujours, dans une certaine mesure, dynamique, précisément parce qu’il est visible et appréciable de différents points de vue, et parce qu’il n’est jamais possible de parler d’un seul espace : il y en a au moins deux, l’extérieur et l’intérieur. Mais il y en a généralement beaucoup, car même un simple bâtiment présente de nombreuses articulations.
Pour définir le concept d’espace architectural, nous utiliserons la définition de Nikolaus Pevsner (Storia dell’architettura europea, Bari, Laterza, 1963) :
« Un abri à vélos est un bâtiment. La cathédrale de Lincoln est une œuvre d’architecture. Toutes ou presque toutes les structures qui délimitent un espace suffisamment grand pour qu’un être humain puisse s’y déplacer sont un bâtiment….. Un bâtiment peut provoquer des sensations esthétiques de trois manières :
- elles peuvent être produites par le traitement de la surface, par les proportions, par le rapport des vides aux pleins et par l’ornementation ;
- le traitement extérieur d’un bâtiment dans son ensemble, ses contrastes, ses effets,… est esthétiquement significatif.
- l’effet sur nos sens du traitement de l’intérieur, la succession des pièces, l’élargissement d’une nef dans le transept, le mouvement majestueux d’un escalier baroque…
La première de ces voies est en deux dimensions : c’est la voie propre du peintre. La seconde est en trois dimensions, et comme elle traite le bâtiment comme un volume, c’est la voie du sculpteur. La troisième voie est également en trois dimensions, mais elle se réfère à l’espace : plus que les précédentes, c’est la voie de l’architecte. Ce qui distingue l’architecture de la peinture et de la sculpture, c’est sa spatialité caractéristique. Dans ce domaine, et uniquement dans ce domaine, aucun autre artiste ne peut égaler l’architecte. Par conséquent, l’histoire de l’architecture est, avant tout, l’histoire de l’homme qui modèle l’espace ».
La géométrie
La géométrie est toujours partie de l’observation de la réalité. Des réalités différentes ont motivé des modélisations géométriques différentes. Felix Klein (Vergleichende Betrachtungen őber neuere geometrische Forschungen, connu sous le nom de programme d’Erlangen) a jeté en 1872 les bases d’une définition unifiée de la géométrie. Pour Klein, il existe deux bases fondamentales dans une géométrie : un espace E et un groupe G(E) de transformations de cet espace. E peut être un ensemble fini d’éléments, R²,R³,…. Le groupe G(E) est contenu dans le groupe des bijections de E dans E. A partir de cette paire, les figures sont classées comme équivalentes si et seulement s’il existe une transformation de G(E) qui transforme l’une en l’autre. Puisque je peux considérer différents groupes de transformations sur le même espace, il existe autant de géométries que de sous-groupes possibles du groupe des bijections de l’espace lui-même. La distinction entre l’une et l’autre est basée sur l’ensemble des invariants de chaque géométrie.